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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
6.
Determine los intervalos de concavidad y convexidad y localice los puntos de inflexión de las siguientes funciones
a) $f(x)=x^{4}+3 x^{3}+x^{2}-1$
a) $f(x)=x^{4}+3 x^{3}+x^{2}-1$
Respuesta
Vamos a seguir los pasos que vimos en la clase "Puntos de inflexión. Concavidad de una función" 😊
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1) El dominio de la función es $\mathbb{R}$
2) Calculamos $f'(x)$ y $f''(x)$
\( f'(x) = 4x^3 + 9x^2 + 2x \)
\( f''(x) = 12x^2 + 18x + 2 \)
3) Igualamos $f''(x)$ a cero para encontrar los puntos de inflexión
\( 12x^2 + 18x + 2 = 0 \)
Los resultados de esta cuadrática son
\( x_1 = \frac{-9 + \sqrt{57}}{12} \)
\( x_2 = \frac{-9 - \sqrt{57}}{12} \)
(si, son medios fuleros, pero son esos jeje 😅)
4) Dividimos la recta real en intervalos donde $f''(x)$ es continua y no tiene raíces, y nos fijamos el signo:
a) $(-\infty, \frac{-9 - \sqrt{57}}{12}) \rightarrow f''(x) > 0 \rightarrow f(x)$ es cóncava hacia arriba
b) $(\frac{-9 - \sqrt{57}}{12}), \frac{-9 + \sqrt{57}}{12})) \rightarrow f''(x) < 0 \rightarrow f(x)$ es cóncava hacia abajo
c) $( \frac{-9 + \sqrt{57}}{12}), +\infty) \rightarrow f''(x) > 0 \rightarrow f(x)$ es cóncava hacia arriba
Como se produjo efectivamente un cambio de concavidad, entonces \( x = \frac{-9 + \sqrt{57}}{12} \) y \( x = \frac{-9 - \sqrt{57}}{12} \) son puntos de inflexión de $f$.